ブレーキの鳴き制御解析（複素固有値解析）

ブレーキの鳴き（現象）

ブレーキをかけると、摩擦によって構造の剛性が変化します。さらに、摩擦による損失（減衰）が発生します。その結果、複素固有値の実数成分が正となります。
※　実数成分＝対数増幅で負は減衰、正は自励

ブレーキの鳴きは、低音で150～450Hz、高音で2000Hz以上で発生すると考えられます。人にとってはかなり不快です。

また、鳴き（音）の問題だけでなく、摩擦が発生することによってブレーキの寿命にも影響します。

数学モデル

NX Nastranでモデル化すると以下のようになります。

$$ [M]\{x^{”}\}+ [C]\{x^{‘}\} + ([K] + ig[K])\{x\} = \{f\} \tag{1} \\
ここで、\{f\}はブレーキ力\\
\{f\} = ([kbr] + i[kbi]) \{x^*\} \\
よって、 $$ $$[M]\{x^{”}\}+ [C]\{x^{‘}\} + ([K] + ig[K])\{x\} = ([kbr] + i[kbi]) \{x^*\} \tag{2} \\
ここで、 \\
\{x^*\} : ブレーキ力の変位 \\
[kbr] : ブレーキ変位に対する実数剛性（モデルの剛性の変化）\\
[kbi] : ブレーキ変位に対する虚数剛性（モデルの摩擦減衰）\\
$$

式を整理すると、

$$ [M]\{x^{”}\}+ [C]\{x^{‘}\} + ([K] -[kbr] + i(g[K] -[kbi])) \{x\} = \{0\} \tag{3}$$

ブレーキ剛性の取り込み

ブレーキ剛性の取り込みはDMIG（接触初期状態の指定）とK2PP（剛性マトリクスをケースコントロール）を使用します。

DMIGはノード/ノード間への直接マトリクスインプットバルクデータカードを定義します。K2PP=A*DMIGであり、DMIGをモデルに組み込むためのケースコントロールカードを定義します。

メリットとして、サブケース毎にDMIGを切替ることができ、さらにK2PPを変化させることができるので、ブレーキ力の変化を考慮した解析ができます。

解析モデル

解析は、下図の簡略化したブレーキモデルに対し、60次までの複素固有値を求めてブレーキの鳴きが発生するかを確認する。

材料データ

各部位の材料値は下表にまとめます。

部位	縦弾性率[N/mm^2]	ポアソン比	密度[ton/mm^3]	構造減衰比
ディスク	21000	0.31	8E-10	0.0015
ハブ	21000	0.31	8E-10	–
シュー	850	0.15	6.5E-10	0.0015

複素固有値解析の設定

解析タイプはNX Nastran ノーマルモード/固有値解析に設定します。

DMIGカードを定義するため、バルクデータオプションの【開始文】にDMIGカード内容を貼り付けします。

解析結果

解析結果から固有モードの実数部と虚数部のグラフを作成し、モード４（150[Hz]以下の周波数）では、ブレーキの鳴きは発生せず、モード２６（2000[Hz]以上の周波数）でブレーキの鳴きが発生することが確認できました。